Brüche ( a / b )
a / b
a = Zähler
b = Nenner
3 / 4
echter Bruch
da Zähler < Nenner
5 / 4
unechter Bruch
da Zähler > Nenner
1 1 / 4
gemischter Bruch
enspricht 5/4
3 / 10
Dezimal-Bruch
Nenner = 10 oder 10 x

Multiplikation von Brüchen
Zwei Brüche werden multipliziert,
indem der Zähler des ersten Bruches mit dem Zähler des zweiten Bruches
und der Nenner des ersten Bruches mit dem Nenner des zweiten Bruches multipliziert wird:

  • Was ist die Hälfte eines Viertels?
  • 1 / 2 x 1 / 4   =   1 / 8 (weil 1 x 1 = 1 und 2 x 4 = 8)
  • Was ist drei Viertel von fünf Siebtel?
  • 3 / 4 x 5 / 7   =   15 / 28 (weil 3 x 5 = 15 und 4 x 7 = 28)
  • Man kann auch mehrere Brüche multiplizieren!
  • 1 / 3 x 2 / 5 x 7 / 9   =   14 / 135 (weil 1 x 2 x 7 = 14 und 3 x 5 x 9 = 135)


    Kürzen von Brüchen
    Wenn es möglich ist Brüche zu kürzen, sollte man dies immer tun,
    da es den Bruch und dessen Ansicht vereinfacht.
    Einen Bruch kann man kürzen, wenn der Zähler und der Nenner gemeinsame Teiler hat.
  • Wie vereinfacht man zwei Viertel?
  • 2 / 4   =   1 / 2 (weil 2 und 4 beide durch 2 teilbar sind)
  • Wie vereinfacht man zehn Fünfunddreizigstel?
  • 10 / 35   =   2 / 7 (weil 10 und 35 beide durch 5 teilbar sind)
  • Und bei achtzehn Vierundzwanzigstel?
  • 18 / 24   =   9 / 12   =   3 / 4 (weil 18 und 24 beide durch 2 teilbar
      und weil 9 und 12 beide durch 3 teilbar sind)

    Kürzen bei Multiplikation von Brüchen
    Wenn es möglich ist Brüche vor dem multiplizieren zu kürzen, sollte man dies immer tun,
    da es das Multiplizieren stark vereinfacht.
    Die Brüche kann man kürzen, wenn einer der Zähler und einer der Nenner gemeinsame Teiler hat.
  • Man achte auf die 3!
  • 3 / 4 x 7 / 15   =   1 / 4 x 7 / 5   =   7 / 20 (weil 3 und 15 beide durch 3 teilbar sind)
  • Man achte auf die 3 und 2!
  • 3 / 4 x 6 / 15   =   1 / 2 x 3 / 5   =   3 / 10 (weil 3 und 15 beide durch 3 teilbar
      und weil 6 und 4 beide durch 2 teilbar sind)
  • Und das sieht nur kompliziert aus:
  • 5 / 4 x 8 / 15 x 3 / 2   =   1 / 4 x 8 / 3 x 3 / 2   =   1 / 1 x 2 / 3 x 3 / 2   =   1 / 1 x 1 / 1 x 1 / 1   =   1 / 1   =   1

    Division von Brüchen
    Wenn man Brüche dividiert, muß man den zweiten Bruch invertieren
    und kann in dann ganz normal multiplizieren
  • Einfach den Divisor umdrehen!
  • 1 / 2 / 3 / 5   =   1 / 2 x 5 / 3   =   5 / 6 (aus 3 / 5 wird 5 / 3 )
  • Auch hier kann man kürzen:
  • 3 / 4 / 15 / 7   =   3 / 4 x 7 / 15   =   1 / 4 x 7 / 5   =   7 / 20 (erst drehen, dann kürzen)

    Gemischte und Dezimale Brüche
    Gemischte Brüche entstehen immer durch unechte Brüche, deren Zähler größer als der Nenner ist.
    Die Ganze Zahl vor dem errechnet man durch teilen des Zählers durch den Nenner, ohne die Nachkommastellen.
    Der Rest ergibt den neuen Zähler.
  • Fünf Viertel:
  • 5 / 4   =   1 1 / 4 (5 / 4 = 1 Rest 1 )
  • Auch hier kann man kürzen:
  • 88 / 24   =   11 / 3   =   3 2 / 3 (erst 88 und 24 durch 8 kürzen
      dann 11 / 3 = 3 Rest 2 )
  • Es geht auch andersherum:
  • 3 4 / 5   =   19 / 5 ( 3 x 5 + 4 = 19)

    Die Dezimalen Brüche kann man durch einfache dezimal Zahlen darstellen.
    Ein Teil der Grundlage unseres Dezimalsystems.
  • Zehntel:
  • 3 / 10   =   0,3 0,4   =   4 / 10
  • Hundertstel:
  • 5 / 100   =   0,05 0,12   =   12 / 100
  • Tausendstel:
  • 13 / 1000   =   0,013 0,007   =   7 / 1000

    Addition und Subtraktion von Brüchen
    Wenn man Brüche addieren oder subtrahieren will, muß man die Brüche so erweitern oder kürzen, daß die Nenner gleich sind.
    Man muß die Brüche sozusagen auf den gleichen Nenner bringen.
    Um einen gemeinsamen Nenner zu finden ist es ratsam die Nenner in die kleinsten gemeinsamen Vielfachen aufzuteilen.
    Um einen Bruch zu erweitern oder zu kürzen multipliziert oder dividiert man den Zähler und den Nenner gleichermaßen mit einem Faktor.
  • Nenner = 4.
  • 1 / 2 + 1 / 4   =   2 / 4 + 1 / 4   =   3 / 4 (der erste Bruch wird mit 2 erweitert)
  • Nenner = 6.
  • 1 / 2 - 1 / 3   =   3 / 6 - 2 / 6   =   1 / 6 (der erste Bruch wird mit 3
      und der zweite mit 2 erweitert)
  • Nenner = 5.
  • 4 / 10 + 10 / 25   =   2 / 5 + 2 / 5   =   4 / 5 (der erste Bruch wird mit 2
      und der zweite mit 5 gekürzt)
  • Nenner = 60
  • 1 / 6 + 4 / 15 - 5 / 12   =   10 / 60 + 16 / 60 - 25 / 60   =   1 / 60 (der erste wird mit 10, der zweite mit 4
      und der dritte mit 5 erweitert)

    Finden von kleinsten gemeinsamen Vielfachen

    Auswahl von einfachen Zahlen und deren Teilern
    Zahl 2 2 2 2 2 3 3 3 5 5 7
    2 2                    
    3           3          
    4 2 2                  
    5                 5    
    6 2         3          
    7                     7
    8 2 2 2                
    9           3 3        
    10 2               5    
    12 2 2       3          
    14 2                   7
    15           3     5    
    16 2 2 2 2              
    18 2         3 3        
    20 2 2             5    
    21           3         7
    24 2 2 2     3          
    25                 5 5  
    27           3 3 3      
    28 2 2                 7
    30 2         3     5    
    32 2 2 2 2 2            
    35                 5   7
    36 2 2       3 3        
    40 2 2 2           5    
    42 2         3         7
    45           3 3   5    
    48 2 2 2 2   3          
    50 2               5 5  
    54 2         3 3 3      
    56 2 2 2               7
    60 2 2       3     5    
    63           3 3       7
    70 2               5   7
    72 2 2 2     3 3        
    75           3     5 5  
    80 2 2 2 2         5    
    84 2 2       3         7
    90 2         3 3   5    
    96 2 2 2 2 2 3          
    100 2 2             5 5  

    Finden von gemeinsamen Nennern

    Beispiele, bei denen die Teiler addiert werden
    Zahl x x                  
    2 2                    
    4 2 2                  
    4
    2 2                  

    Zahl x         x          
    2 2                    
    3           3          
    6
    2         3          

    Zahl x x       x     x    
    6 2         3          
    12 2 2       3          
    15           3     5    
    60
    2 2       3     5    

    Zahl x x       x         x
    4 2 2                  
    6 2         3          
    7                     7
    12 2 2       3          
    14 2                   7
    21           3         7
    28 2 2                 7
    84
    2 2       3         7

    Zahl x x x x x x          
    2 2                    
    3           3          
    4 2 2                  
    6 2         3          
    8 2 2 2                
    12 2 2       3          
    16 2 2 2 2              
    24 2 2 2     3          
    32 2 2 2 2 2            
    48 2 2 2 2   3          
    96
    2 2 2 2 2 3          


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